素理想

约定. 在本文中,

素理想素数在一般交换环上的推广.

代数–几何对偶中, 一个交换环相应的空间 (即它的) 是它的所有素理想给出, 一个素理想即对于空间的一个点.

素理想一般使用哥特体字母 表示.

1定义

定义 1.1. 交换环 的理想 称为素理想, 如果它不是 本身, 且对任意 , , 有 成立.

注 1.2. 上述定义是如下素数性质在一般交换环上的推广: 对整数 和素数 , 如 , 有 成立. 当 整数 时, 它的素理想即是由某个素数生成的理想或零理想.

2性质

命题 2.1. 交换环 的理想 是素理想, 当且仅当商环 整环.

命题 2.2. 极大理想是素理想. 因此, 每个非零交换环都有素理想.

更一般地, 满足一些条件的理想中极大者通常是素的.

命题 2.3. 是环, 是其乘性子集. 则与 无交的理想中极大元是素理想.

证明. 是这样一个极大元. 则对 , 有 都与 有交. 则由乘性, 也与 有交. 而 也与 有交, 从而 .

3例子

上的多项式环 中, 由一个不可约多项式生成的理想是素理想, 零理想也是素理想.

整数 中, 由一个素数生成的理想是素理想, 零理想也是素理想.

4相关概念

术语翻译

素理想英文 prime ideal德文 Primideal法文 idéal premier拉丁文 ideal primum古希腊文 πρῶτον ἰδεῶδες