理想

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本文介绍的是的理想. 关于其它含义, 请参见 “理想 (多义词)”.

理想的一种特殊的子集, 使其在一些运算下封闭.

理想的最初引入是作为数的推广. 在一般的 Dedekind 环之中唯一分解定理并不成立, 却可以在推广的意义下成立, 即理想可以唯一分解为素理想之积. “理想” 即 “理想的数”, 由于满足这样好的性质而得名.

理想常用字母 或哥特体字母 表示.

1定义

定义 1.1.

上的左理想是其加法子群 , 使

上的右理想是其加法子群 , 使

上的理想, 或称双边理想, 是其加法子群 , 使

等价地, 环 的 (左、右、双边) 理想是其作为自己的 (左、右、双) 子模.

注 1.2.交换环 的子集 , 是左理想、右理想、理想三者等价.

定义 1.3. 不为环本身的 (左、右、双边) 理想称为真 (左、右、双边) 理想, 即同时为环的真子集的理想.

2例子

任何 中, 自身都是理想, 分别称为零理想平凡理想 (或单位理想).

交换环 中元素 的所有倍元之集 的理想, 称为主理想. 对非交换环, 也可以定义左、右、双边主理想.

3性质

基本性质

包含幺元的理想必定是本身.

理想是无幺环.

4操作

(商环、延拓、收缩)

5相关概念

术语翻译

理想英文 ideal德文 Ideal (n)法文 idéal (m)拉丁文 ideal (n)古希腊文 ἰδεῶδες (n)