极大理想

极大理想是指一个的所有真 (左, 右, 双) 理想中的极大元.

代数–几何对偶中, 极大理想对应于空间的一个闭点.

极大理想一般用哥特体字母 表示.

1定义

定义 1.1. (左, 右, 双) 极大理想是环 的真 (左, 右, 双) 理想 , 使真包含其的理想必为环本身.

注 1.2. 等价地, 环 的极大理想是环 的所有真理想中极大元, 其中两个理想的序关系.

注 1.3. 双极大理想很可能既不是左极大理想, 也不是右极大理想. 例如矩阵环中, 双极大理想为零理想.

2性质

命题 2.1. 对任意非零, 其 (左, 右, 双) 极大理想均存在.

命题 2.2. 对环 , 是 (左, 右) 极大理想当且仅当商模 是 (左, 右) 单模.

命题 2.3. 对环 , 是双极大理想当且仅当商环 是单环. 特别地, 对交换环 , 是极大理想当且仅当商环 是域.

中国剩余定理

3相关概念

素理想

单模

根 (环论)

局部环

术语翻译

极大理想英文 maximal ideal德文 maximales Ideal法文 idéal maximal拉丁文 ideal maximum古希腊文 μέγιστον ἰδεῶδες