辛流形

辛流形是指带有一个闭、非退化 $2$-形式的光滑流形, 这样的 $2$-形式称为辛形式, 也称为流形的辛结构.

辛流形的概念来源于经典力学. 在 Hamilton 力学中, 以质点的位置、动量描述质点的状态, 所有可能的状态构成的空间称为构形空间, 而该空间自然是辛流形. 用几何的语言说, 就是以流形的余切丛作为构形空间, 而流形的余切丛具有自然的辛结构.

研究辛流形的学科称为辛几何或辛拓扑.

1定义

定义 1.1 (辛流形). 辛流形指二元组 $(X,\omega )$, 其中

•	$X$ 是 $2n$ 维光滑流形, 其中 $n$ 是自然数.

•

$\omega$ 是 $X$ 上的 $2$-形式, 称为辛形式, 满足以下条件: ∘ $\omega$ 是闭形式: $d\omega =0$. ∘ $\omega$ 是非退化 $2$-形式, 即满足下列等价条件: ▪ 在每点 $x\in X$, $\omega$ 诱导的切空间 ${\mathrm{T}}_{x}X$ 上的双线性型都是非退化双线性型. ▪ 在每点 $x\in X$, $\omega$ 赋予切空间 ${\mathrm{T}}_{x}X$ 辛向量空间的结构. ▪ $2n$-形式 ${\omega }^n=\omega \wedge \cdots \wedge \omega$ ($n$ 个 $\omega$) 在 $X$ 的每点处都非零.

2例子

辛向量空间

余切丛

令 $M$ 为光滑流形, 它的余切丛 $T^{\ast }M$ 上有一个自然的 $1$-形式: 取 $T^{\ast }M$ 的局部坐标 $(x^i,{\theta }_i)$ 为$$p=(x^i),\theta ={\theta }_{i}d{x}_p^i,p\in M,\theta \in T_p^{\ast }M$$于是定义 $\sigma ={\theta }_{i}d{x}^i\in T^{\ast }{T}^{\ast }M$, 它是不依赖于坐标选取的一个整体 $1$-形式.

令 $\omega =-d\sigma \in {\Omega }^2(M)$, 在上方的坐标下看出它是闭的、非退化 $2$-形式, 它被称作余切丛上的典范辛形式, 注意到它不仅是闭的, 还是恰当的, 这是一个恰当辛流形.

Kähler 流形

定义 2.1. 令 $(M,\omega )$ 为辛流形, $M$ 上的近复结构 $J$ 被称作是和 $\omega$ 相容的, 如果$$g(u,v)=\omega (u,Jv)$$定义了 $M$ 上的 Riemann 度量.

如果辛流形 $(M,\omega )$ 上有一个相容的近复结构 $J$, 则称 $(M,\omega ,J,g)$ 是近 Kähler 流形, 其中 $g(u,v)=\omega (u,Jv)$ 是诱导的 Riemann 度量. 特别地, 如果 $J$ 是可积的, 则称其为 Kähler 流形.

酉空间

${\mathbb{C}}^n\cong {\mathbb{R}}^{2n}$ 上有标准 Kähler 形式 $({\mathbb{C}}^n,{\omega }_0,J_0)$, 其中 $J_0$ 是标准复结构 $J_{0}v=iv$, 辛形式$${\omega }_0=\frac{i}{2}\partial \overline{\partial }f,f(z)=\sum _{i=1}^n{z}_i{\overline{z}}_i$$其中 $z_i$ 为 ${\mathbb{C}}^n$ 上的标准坐标.

复射影空间

复射影空间 $(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n,{\omega }_{\mathrm{FS}},J)$ 在它的标准复结构 $J$ 和 Fubini–Study 形式 ${\omega }_{\mathrm{FS}}$ 下构成一个紧 Kähler 流形.

3相关概念

•	近辛流形
•	Poisson 流形

术语翻译

辛流形 • 英文 symplectic manifold • 德文 symplektische Mannigfaltigkeit (f) • 法文 variété symplectique (f)

辛形式 • 英文 symplectic form • 德文 symplektische Form (f) • 法文 forme symplectique (f)

辛结构 • 英文 symplectic structure • 德文 symplektische Struktur (f) • 法文 structure symplectique (f)