Riemann 度量

Riemann 度量是一种在流形上定义距离的方法. 它通过定义切向量的长度 (“无穷近” 的点之间的距离), 来定义流形上曲线的长度, 进而定义两个点的距离.

事实上, Riemann 度量不仅能给出距离, 还能给出曲率等几何量, 以及协变导数Laplace 算子等几何构造. 研究这些内容的学科称为 Riemann 几何.

广义相对论中, Riemann 度量 (确切地说, Lorentz 流形伪 Riemann 度量) 对应于引力. 这也是 Riemann 度量的通用记号 的来源 (英文 gravity).

1定义

定义 1.1 (Riemann 度量).光滑流形. 上的 Riemann 度量是指 上的对称正定-张量.

换言之, 对每个切空间 , Riemann 度量给出了切空间上的内积并且这个内积光滑地取决于 .

带有 Riemann 度量的光滑流形称为 Riemann 流形.

通过 Riemann 度量, 可以定义流形上曲线的长度.

定义 1.2 (曲线的长度). 是 Riemann 流形 (定义 1.1), 设 分段光滑曲线. 则 长度定义为其中 定义为 .

这样, 我们能定义流形上两个点的距离.

定义 1.3 (距离).连通的 Riemann 流形 (定义 1.1). 两个点 距离定义为其中 取遍所有连接 的分段光滑曲线. 这个距离赋予 度量空间的结构.

2例子

Euclid 度量

Fubini–Study 度量

3相关概念

术语翻译

Riemann 度量英文 Riemannian metric