Brouwer 不动点定理

Brouwer 不动点定理是拓扑学中的定理, 它表明了球体到自身的连续映射必有不动点.

1陈述与证明

定理 1.1 (Brouwer 不动点定理). 设 $D^n$ 是 Euclid 空间中的单位球体, 则对任意连续映射 $f:D^n\to D^n$, 存在 $x\in D^n$, 使得 $f(x)=x$.

使用代数拓扑

证明. 如不然, 记 $S^{n-1}$ 为单位球面, 则映射$$\pi :D^n\to S^{n-1},x\mapsto 射线f(x)x与S^{n-1}的交点$$与含入映射 $i:S^{n-1}\to D^n$ 之复合为恒等映射. 于是它对应的 $n-1$ 阶约化同调群映射$${\tilde{H}}_{n-1}(S^{n-1})\to {\tilde{H}}_{n-1}(D^n)\to {\tilde{H}}_{n-1}(S^{n-1})$$之复合是恒等映射. 但 ${\tilde{H}}_{n-1}(D^n)=0$, ${\tilde{H}}_{n-1}(S^{n-1})=\mathbb{Z}$, 矛盾.

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构造性证明

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2应用

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3相关概念

•	介值定理
•	不动点定理
•	Sperner 引理

术语翻译

Brouwer 不动点定理 • 英文 Brouwer fixed-point theorem • 德文 Fixpunktsatz von Brouwer • 法文 théorème du point fixe de Brouwer