镜像对称

镜像对称是一系列基于弦论的想法而提出的数学猜想. 其主要内容为, 对 $3$ 维 Calabi–丘流形 $X$, 可以构造其 “镜像” 的 $3$ 维 Calabi–丘流形 $\check{X}$, 使得 $X$ 的辛几何对应于 $\check{X}$ 的复几何, 或者说代数几何, 而 $X$ 的复几何对应于 $\check{X}$ 的辛几何. 这里辛几何和复几何又分别称为镜像对称的 A 模型和 B 模型. 二者的对应关系并不是某种直接的转换, 而是由一些复杂的关系给出. 例如, Maxim Kontsevich 于 1994 年提出同调镜像对称猜想, 说明 $X$ 的 Fukaya 范畴 (辛几何) 与 $\check{X}$ 的凝聚导出范畴 (复几何) 是等价的 ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 范畴:$$\mathsf{Fuk}(X)\simeq {\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}\mathsf{Coh}(\check{X}).$$

镜像对称还预言, $X$ 与 $\check{X}$ 的 Hodge 菱形沿对角线对称. 例如, 对于五次三维流形而言, 它与其镜像的 Hodge 菱形分别为$$\begin{array}{ccccccc}& & & 1& & & \\ & & 0& & 0& & \\ & 0& & 1& & 0& \\ 1& & \text{101}& & \text{101}& & 1\\ & 0& & 1& & 0& \\ & & 0& & 0& & \\ & & & 1& & & \end{array},\begin{array}{ccccccc}& & & 1& & & \\ & & 0& & 0& & \\ & 0& & \text{101}& & 0& \\ 1& & 1& & 1& & 1\\ & 0& & \text{101}& & 0& \\ & & 0& & 0& & \\ & & & 1& & & \end{array}$$这也是 “镜像对称” 的一种形象的诠释.

术语翻译

镜像对称 • 英文 mirror symmetry • 法文 symétrie miroir (f)