轨形

轨形是类似流形的形状, 但可能有一些奇点. 流形局部上看起来像是 Euclid 空间, 而轨形局部上看起来像是 Euclid 空间商掉有限群作用.

例如, 循环群 以旋转作用在平面 上, 得到的商 就是一个轨形, 它的奇点为 . 再例如, 椭圆曲线的模空间是上半平面商去 的作用, 它也是一个轨形.

轨形是一种特殊的微分叠, 其之于微分叠正如 Deligne–Mumford 叠之于 Artin 叠.

1定义

轨形带有的信息不只是一个拓扑空间, 它还记住了其中的点如何被群作用粘起来. 因此, 我们用 Lie 群胚来描述轨形, 其对象代表轨形的点, 其态射代表两个点通过群作用被粘起来的关系.

定义 1.1 (轨形群胚).Lie 群胚.

紧合, 如果映射 光滑流形之间的紧合映射.

平展, 如果两映射 都是局部微分同胚.

轨形群胚就是指紧合、平展的 Lie 群胚.

例 1.2 (作用群胚).Lie 群 作用于光滑流形 . 定义其作用群胚 为一 Lie 群胚, 其对象空间为 , 即其对象为 中的点; 其态射空间为 , 态射 指向 , 也就是说, 这一态射将 粘起来.

有限群, 则得到的作用群胚是轨形群胚. 更一般地, 只要 离散群, 并且该作用是紧合作用, 则作用群胚是轨形群胚.

定义 1.3 (轨形). 轨形是由轨形群胚表现的微分叠.

2例子

椭圆曲线模空间.

透镜空间.

ADE 奇点.

3相关概念

4参考文献

以下两篇是从的观点出发的介绍.

Eugene Lerman (2010). “Orbifolds as stacks?”. Enseign. Math. 56 (3), 315–363. arXiv: 0806.4160 [math.DG]. (doi)

Ieke Moerdijk (2002). “Orbifolds as groupoids: an introduction”. arXiv: math/0203100 [math.DG].

术语翻译

轨形英文 orbifold德文 Orbifaltigkeit (f)法文 orbifold (m)拉丁文 orbiplex (n)古希腊文 τροχοπλούτης (f)

轨形群胚英文 orbifold groupoid拉丁文 catervoides orbiplex古希腊文 τροχόπλουν ὁμαδοειδές