力迫法

在集合论中, 力迫法是一种证明相容性和独立性结论的方法, 由 Paul Cohen 发明, 最初用于证明连续统假设独立于 ZFC 公理. 力迫法也用于证明选择公理独立于 ZF 公理.

1直观

设 $\mathbf{M}$ 为 ZFC 的模型, 可视为所有集合的类. 设 $(P,\le )$ 为 $\mathbf{M}$ 中的偏序集, 含有最大元 $1$. 力迫法通过构造一个不在 $\mathbf{M}$ 内的通滤 $G\subset P$, 来构造模型扩张 $\mathbf{M}[G]$, 它是向 $\mathbf{M}$ 加入新集合 $G$ 得到的更大模型. 这样, 通过证明模型 $\mathbf{M}[G]$ 满足某种性质 $\phi$, 就能说明性质 $\phi$ 与 ZFC 相容.

在力迫法中, 常常有这样的结论: 对某个元素 $p\in P$, 对任何包含 $p$ 的通滤 $G$, 模型 $\mathbf{M}[G]$ 都满足某种我们想要的性质 $\phi$. 这时, 我们称 $p$ 力迫 $\phi$, 记为 $p⊩\phi$. 这是力迫法的名称来源.

2构造过程

3与 Boole 值模型的关系

4应用

5相关概念

•	选择公理
•	连续统假设
•	Boole 值 von Neumann 宇宙

6参考文献

一些教材:

•	Thomas Jech (2002). Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer.

•	Nik Weaver (2014). Forcing for Mathematicians. World Scientific.

力迫法的原始文献:

•	Paul Cohen (1963). The Independence of the Continuum Hypothesis. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 50 (6), 1143–1148.

•	Paul Cohen (1964). The Independence of the Continuum Hypothesis, II. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 51 (1), 105–110.

术语翻译

力迫法 • 英文 forcing • 德文 Forcing (n) • 法文 forcing (m)