共鸣定理

在泛函分析中, 共鸣定理, 也称为一致有界定理, 说的是如果 Banach 空间之间的一族算子在每一点处都是有界的, 则这族算子是一致有界的.

1叙述与证明

定理 1.1 (共鸣定理). 设 $X,Y$ 分别是 Banach 空间和赋范线性空间, 它们之间的连续线性算子构成集合 $\mathcal{L}(X,Y)$. 如果 $W\subset \mathcal{L}(X,Y)$ 满足对任意 $x\in X$ 都有 $\underset{A\in W}{\sup }\Vert Ax\Vert <\infty$, 则存在 $M>0$ 使得 $\Vert A\Vert \le M,\forall A\in W$.

可以用 Baire 纲定理或范数的等价性证明定理.

证明. (用范数等价) 定义$$\Vert x{\Vert }_W=\Vert x\Vert +\underset{A\in W}{\sup }\Vert Ax\Vert$$显然 $\Vert \cdot {\Vert }_W$ 是范数, 且比 $\Vert \cdot \Vert$ 强. 接下来证明 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_W)$ 是完备的.

如果 $\Vert x_m-x_n{\Vert }_W\to 0,m,n\to \infty$, 则显然 $\{x_n\}$ 对 $\Vert \cdot \Vert$ 而言是 Cauchy 列, 从而 $x_n\to x,n\to \infty$. 而对任意 $\epsilon >0$, 存在 $N$ 使得$$\underset{A\in W}{\sup }\Vert A{x}_m-A{x}_n\Vert <\epsilon ,\forall m,n\ge N$$对 $m$ 取极限, 得$$\underset{A\in W}{\sup }\Vert A{x}_n-Ax\Vert <\epsilon ,\forall n\ge N$$所以 $\Vert x_n-x{\Vert }_W\to 0,n\to \infty$. 这就证明了完备性. 根据等价范数定理, $\Vert \cdot {\Vert }_W,\Vert \cdot \Vert$ 等价, 从而存在常数 $M$ 使得 $\underset{A\in W}{\sup }\Vert Ax\Vert \le M\Vert x\Vert ,\forall x\in X$, 所以 $\Vert A\Vert \le M,\forall A\in W$.

$\square$

证明. (用 Baire 纲定理) 记闭集$$X_n=\left\{x\in X\mid \underset{A\in W}{\sup }\Vert Ax\Vert \le n\right\}$$则 $X={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{X}_n$. 因为 $X$ 是完备的, 由 Baire 纲定理知它是第二纲集, 即存在一个 $X_n$ 不是无处稠密的. 这样, 存在 $x_0\in X_n$ 和 $\epsilon >0$ 使得$$B(x_0,2\epsilon )\subset X_n$$设 $A\in W,u\in X$ 满足 $\Vert u\Vert =1$, 则$$\begin{array}{rl}\Vert Au\Vert & ={\epsilon }^{-1}\Vert A(x_0+\epsilon u)-A{x}_0\Vert \\ & \le {\epsilon }^{-1}(\Vert A(x_0+\epsilon u)\Vert +\Vert A{x}_0\Vert )\\ & \le 2n{\epsilon }^{-1}\end{array}$$其中最后一个不等号是因为 $x_0+\epsilon u,x_0\in B(x_0,2\epsilon )\subset X_n$. 这就证明了 $\Vert A\Vert \le 2n{\epsilon }^{-1},\forall A\in W$.

$\square$

2应用

可以用共鸣定理证明下面的 Banach–Steinhaus 定理.

定理 2.1 (Banach–Steinhaus 定理). 设 $X,Y$ 分别是 Banach 空间和赋范线性空间, $M$ 是 $X$ 的一个稠密子集, 考虑一族算子 $(A_n\in \mathcal{L}(X,Y){)}_{n\in \mathbb{N}}$ 以及 $A\in \mathcal{L}(X,Y)$. 则它们满足$$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_{n}x=Ax,\forall x\in X$$当且仅当满足以下条件:

•	$\{\Vert A_n\Vert \}$ 有界.

•	上式对任何 $x\in M$ (而无需对任何 $x\in X$) 成立.

此外, 还可以用共鸣定理证明数值分析中的 Lax 等价定理. 在泛函分析的其他证明中共鸣定理也时有出现.

3相关概念

术语翻译

共鸣定理 • 英文 uniform boundedness principle