最大模原理

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本文介绍的是全纯函数的性质. 关于偏微分方程论中的一般性质, 请参见 “最大值原理”.

最大模原理, 或称极大模原理, 是复分析中的结论. 它大致说明, 若一个全纯函数不是常值函数, 则其模最大的点不可能在其定义域的内部取到, 只能在其边界取到.

1陈述

定理 1.1 (最大模原理).连通开集, 全纯函数. 如果存在 , 使得 对任何 成立, 则 常值函数.

下面的推论说明如果全纯函数在边界有定义, 则最大模应该在边界取到.

推论 1.2 (最大模原理).有界连通开集, 映射 连续, 在 上全纯, 且不是常值函数. 则 的最大值必然在 内取到.

使用最大模原理得到下面的推论.

推论 1.3 (最小模原理). 是有界连通开集, 映射 上连续, 在 上全纯, 不是常值函数, 且没有零点. 则 的最小值必然在 内取到.

2证明

用平均值原理

不妨设 . (否则, 设 , 考虑 即可) 记 , 因为 连续的, 所以 闭集. 下面证明 开集. 对任意的 , 取 使得 . 再取 . 由平均值原理: 因此, 不等式的等号应该成立, 即对任何 成立. 故 , 也就证得 是开集. 如此, 在连通的 中同时是开集和闭集, 所以 . 故 为常值函数.

用开映射定理

假设 不是常值函数, 根据开映射定理, 是开集. 令 , 则存在 使得 . 如此必有 使得 . 设 , 则矛盾.

3应用

定理 3.1 (Schwarz 引理). 中的单位圆盘. 如果全纯函数 满足 , 且对任意 , 则下列结论成立:

1.

对任意 , 有 .

2.

.

3.

若存在点 使得第一项等号成立, 或者第二项等号成立, 则存在 使得 .

证明. 展开为 Taylor 级数其中 为全纯函数, 且 . 对任意 , 当 时, 有由极大模原理, 对任意 , 有 . 令 , 得到 中成立, 即 . 第一项得证. 进一步: , 第二项得证.

现在考虑第三项. 如果所说的 存在, 则 , 即 在内点处取最大模 , 从而是常数. 所以 . 而 也就是 , 所以同理可得第三项.

借助 Schwarz 引理, 可以进一步地求出单位圆盘的全纯自同构群 . 这引出单位圆盘的 Poincaré 度量问题.

也可以用最大模原理证明代数基本定理.

定理 3.2 (代数基本定理). 是次数大于零的复系数多项式, 则存在 使得 .

证明. 反设 没有零点. 因为 的次数大于零, 所以 . 于是, 存在 , 使得 时, . 令 , 则 内的最小模必然在 取到, 但这与假设矛盾, 因为 更小.

术语翻译

最大模原理英文 maximum modulus principle德文 Maximumprinzip法文 principe du maximum日文 最大絶対値の原理韩文 최대 절댓값 원리